脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了自控理论 第04章 根轨迹方法，脚本宝典觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。

4.1 引入

• 劳斯判据的缺陷

  虽然能判断是否稳定，但是不能判断稳定后的各项指标如何，具体来说就是劳斯判据不能反映超调量、上升时间等信息。所以还要继续找新的方法，本章介绍的根轨迹方法就是一种既能判稳，又能反应稳定后的其他指标的方法。

• 定义

  • 开环传递函数

    不失一般性地，令前向支路传递函数(G(s)=frac{N_1(s)}{D_1(s)})与反馈支路传递函数(H(s)=frac{N_2(s)}{D_2(s)})，则它们的乘积定义为开环传递函数（return ratio）(G_o(s))。

    

    [G_o(s)=G(s)H(s)=frac{N_1(s)}{D_1(s)}cdotfrac{N_2(s)}{D_2(s)}=frac{K(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n)}=frac{KN_o(s)}{D_o(s)} ]

    • 此处的开环传递函数和上一章的开环传递函数其实是同一个东西，只不过上一章中都是单位反馈(H(s)=1)，所以就有(G_o(s)=G(s)H(s)=G(s))了。
    • 以上述的形式表示开环传递函数，则(K)称为根轨迹增益。

  • 特征方程

    [D(s)=N_1(s)N_2(s)+D_1(s)D_2(s)=D_o(s)+KN_o(s) ]

4.3 构建根轨迹的规则

与其说是规则不如说是规律，不过ppt上用的rule，老师也说的规则，就按规则来吧。。

根轨迹的定义

随着(K)从0增大到(infty)，特征方程(D_o(s)+KN_o(s)=0)的根，也即原闭环传递函数的极点在复平面上的运动轨迹称为根轨迹。为了方便后边的分析，一般还都写为下列定义式中(frac{N_{mathrm{o}}(s)}{D_{mathrm{o}}(s)}=-frac{1}{K})的形式

注意：虽然下边一直在拿(G_o(s))讨论，但根轨迹不是(G_o(s))极点的轨迹，而是原来的闭环传递函数极点的轨迹。

• 相角条件：由定义有(G_o(s)=-1quad sinmathcal{RL}(D_o,N_o))，故根轨迹上的点满足

  [angle G_o(s)=(2k+1)pi,sinmathcal{RL}(D_o,N_o) ]

• 幅值条件：由定义易知

  [K=left|frac{D_o(s)}{N_o(s)}right| ]

规则0：实系统的根轨迹总是关于实轴对称

因为复数根总是共轭的，所以它们的轨迹也会关于是轴对称。

规则1：根轨迹分支的个数等于开环传递函数(G_o(s))的阶次

这里假设(D_o(s))和(N_o(s))已经没有公因式了。则根据(n)此方程有(n)个根的定理，易得此规则。

规则2：根轨迹起点和终点的规律

(Kto0)时，(G_o(s)=frac{N_o(s)}{D_o(s)}toinfty)，故根轨迹起始于开环传递函数的极点；

(Ktoinfty)时，(G_o(s)=frac{N_o(s)}{D_o(s)}to0)，故根轨迹终止于开环传递函数的零点。

• 注意无穷远也可能是零点。

规则3：实轴上根轨迹的规律

实轴上一点右边的零/级点个数（重根算多个）若为奇数，则该点在根轨迹上，反之则不在。

• 证明：

  (s)在实轴上时，有

  [frac{N_o(s)}{D_o(s)}=frac{K(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n)}<0 ]

  对于共轭的极点或零点(s_1,s_2)，总有(|s-s_1||s-s_2|=|s-sigma-jomega||s-sigma+jomega|=(s-sigma)^2+omega^2>0)，所以它们不会使得开环传函为负。继续考虑实数的零点和极点(s_0)，如果((s-s_0)<0)，有(s<s_0)，即该点(s_0)会在这段根轨迹的右边。再稍微扩展一下就得到了该条规则。

规则4：(sto infty)时根轨迹渐近线的规律

推导翻书，太长不抄啦。思路：将(frac{D_o}{N_o})展开为(s)的多项式，省略(stoinfty)时的二阶小量，然后再泰勒展开一次，计算稍微多一点，建议背下来咯。

故渐近线与x轴的截距和夹角为

规则5：分离点、汇合点的规律

• 定义

  • 分离点：实轴上相邻两极点之间的根轨迹在该点脱离实轴。
  • 汇合点：实轴上相邻两零点之间的根轨迹在该点到达实轴。

• 特点：分离点、汇合点是开环增益(K=-frac{D_o(s)}{N_o(s)})沿实轴变化时的极值点。举个例子，根轨迹终止于实轴上两个相邻的零点，则在两条根轨迹从汇合点出发然后终止于两零点的过程中，(K)一直增大，故汇合点处的(K)就是这两个零点之间的极小值。

  • 分离点是极大值点。
  • 汇合点是极小值点。

• 计算：此时的极点(s)满足(frac{mathrm d}{mathrm d s}frac{D_o(s)}{N_o(s)}=0)，既满足

  [D_o'(s)N_o(s)-N_o'(s)D_o(s)=0 ]
  • 要注意该方程的解只是驻点（stationary point，即一阶导数为0的店），而驻点不一定是极值点。严格来说要检查高阶导数以排除非极值点的情况，但一般遇不到。。。

规则6：根轨迹出射角、入射角的计算

由相角条件有

让(s)趋近极点和零点可以得到以下结论（非重根的结论是易得到的，至于重根为什么是除一个(n)得到的，课上没有解释）

• 出射角：下标_d指departure，即离开极点；(n_l)是指这个极点是(n_l)重极点。

  [theta_{d,l}=frac{1}{n_l}left[(2k+1)pi+sumlimits^m_{i}angle(p_l-z_i)-sumlimits^n_{jne l}angle(p_l-p_j)right] ]

• 入射角：下标_a指approach，即趋近零点；(n_h)是指这个极点是(n_h)重零点。

  [theta_{a,h}=frac{1}{n_h}left[(2k+1)pi-sumlimits^m_{ine h}angle(z_h-z_i)+sumlimits^n_{j}angle(z_h-p_j)right] ]

规则7：虚轴穿越点、临界稳定根轨迹增益的计算

假设根轨迹在((0,jomega))穿越虚轴，且此时的增益为(K_{cr})（_cr指critical，此时系统临界稳定），则满足

将(N_o(jomega))、(D_o(jomega))用(a+jb)的形式表示，则可以得到一个关于(K_{cr})和(omega)的方程组，解该方程组即可得到它俩。

规则8：根轨迹在实轴上的交点的规律

规则5是规则8的特例，规则5描述的是两条根轨迹在实轴上相交的规律，规则8描述的则是(r)条根轨迹在复平面上任意一点相交的规律。

假设(r)条根轨迹相交于(s_0)，则此时有（用的不多，证明翻书吧）

故求解上述方程，然后将解带入(frac{D_o(s)}{N_o(s)})验证是否为负实数即可得到根轨迹的交点。

• 同时(s_0)还是特征方程的(r)重根，由根轨迹的定义可以的到这个表述。
• 分离点和汇合点只涉及到了根轨迹在实轴上的相交，但此处得到的交点可能在复平面上的任意一点。

规则9：(n-mge2)时，闭环极点的和等于开环极点的和

假设开环极点为(r_i iin[1,n])，则有

当(n-m>2)时通过上式求(s^{n-1})的系数即可得到该规则。

• (K)增大时，闭环极点会变化，但开环极点不会变化。该规则说明了当(n-m>2)时，虽然闭环极点会随着(K)增大而变化，但它们的总和不会变，所以如果有一条根轨迹随着(K)增大而向左走，则为了极点之和不变就一定会有一条根轨迹向右走，这条根轨迹在(K)较大时则很有可能导致系统不在稳定。

规则10：这10条规则不能唯一确定根轨迹

只是一些规律嘛，这是当然的。现在毕竟有Python有MatLab，学这个很大一部分原因应该只是应付考试中的手绘根轨迹题目了。

手绘步骤

1. 求出开环传函
2. 求出开环传函的零、极点
3. 确定实轴上的根轨迹
4. 求出分离点、汇合点
5. 求出出射角和入射角
6. 求出穿越点、临界稳定根轨迹增益
7. 求出渐近线
8. 定性手绘

4.4 特殊的根轨迹

4.4.1 其他系统参数的根轨迹（广义根轨迹）

先写出特征方程，然后把它调整成以下形式

其中(theta_i)是关心的系统参数，则就又可以用上一节中的方法画根轨迹啦。

4.4.2 正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）

形成正反馈既可能由综合点的符号导致，也可能由反馈通路传递函数(H(s))系数的符号导致，确定到底是不是正反馈系统，稳妥的方法是看特征方程写成什么样：

其中

如果取正号则是负反馈，规则按普通的根轨迹来；反之则是零度根轨迹，所有普通根轨迹中涉及((2k+1)pi)的地方都得改为(2kpi)。

• 相角条件

  [angle G_o(s)=2kpi,sinmathcal{RL}(D_o,N_o) ]

• 规则3

  实轴上一点右边的零/级点个数（重根算多个）若为偶数，则该点在根轨迹上，反之则不在。

• 规则4

  [s-frac{sumlimits_{j=1}^np_j-sumlimits_{i=1}^mz_i}{n-m}approx K^{frac{1}{n-m}}e^{jfrac{2kpi}{n-m}} ]

• 规则6

  • 出射角：下标_d指departure，即离开极点；(n_l)是指这个极点是(n_l)重极点。

    [theta_{d,l}=frac{1}{n_l}left[2kpi+sumlimits^m_{i}angle(p_l-z_i)-sumlimits^n_{jne l}angle(p_l-p_j)right] ]

  • 入射角：下标_a指approach，即趋近零点；(n_h)是指这个极点是(n_h)重零点。

    [theta_{a,h}=frac{1}{n_h}left[2kpi-sumlimits^m_{ine h}angle(z_h-z_i)+sumlimits^n_{j}angle(z_h-p_j)right] ]

脚本宝典总结

以上是脚本宝典为你收集整理的自控理论 第04章 根轨迹方法全部内容，希望文章能够帮你解决自控理论 第04章 根轨迹方法所遇到的问题。

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