脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了【全程NOIP计划】数学推导选讲，脚本宝典觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。
对于数列a和b,有以下恒成立
令
(A=sum a_i^2,B=sum a_ib_i,C=sum b_i^2)
构造以下式子
(trianglele 0)，然后就得证了
例子：
有(x_1,x_2,dots,x_{4n}ge 0)，(x_{i-1}+x_i+x_{i+1} le 1(x_0=x_{4n},x_{4n+1}=x_1))
求：(sum_{i=1}^{4n}(x_{i-1}*x_{i+1}))
这个系列实际上可以是(0,dfrac 12 ,0 ,dfrac 12,dots dots)
实际上我们可以直接把第二个小于号看成等于号
然后换元法，二次函数求最大值
又一个例子:
有(x_1,x_2,dots,x_nin Z_+)，(forall i,x_i not=10,sum_{i=1}^nx_i=10n)
求((prod_{i=1}^nx_i)^{frac 1n})的最大值
9 11 9 11 9 11……这样循环下去就可以了
((prod x_i)^{frac 1n}le dfrac {sum x_i} n=10)
实际上就是均值不等式
再一个例子：
设(f(x)=sum_{i=0}^na_ix^{n-i})，(f(x))有(n)个实数根，(forall i,a_i ge 0)
求(f(m))的最大值
这是一个n-1元函数
n个根
设这n个根为(-x_1,-x_2,-x_3,-x_4,-x_5,-x_6,dots,-x_n)
然后
(m+x_i=m*1+x_i ge (m+1) sqrt[m+1]{m*1+x_i})
还有：
设n次多项式(f(x))满足(f(k)=dfrac 1k (k=1,2,dots ,n+1))
求：(f(n+2))
从上一题吸取一点经验
设(g(x)=x*f(x)-1)
(k=1,2,3,dots ,n+1)
(g(k)=k*f(k)-1=0)
(g(x)=(x-1)(x-2)dots(x-n-1))
所以((-1)^{n+1}！*C=-1)
(C=dfrac {(-1)^n} {(n+1)!})
(g(x)=dfrac {(-1)^n}{(n+1)!}*(x-1)(x-2)dots(x-n-1))
然后((n+2)*f(n+2)-1=g(n+2)=(-1)^n)
则(f(n+2)=dfrac {(-1)^n+1} {n+2})
(a_{n+2}=c_1a_{n+1}+c_2a_n)这一个递推式的特征方程为：
如果这个方程的两个解为：(x_1,x_2)
则(a_n)的通项公式为:(a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n)
比如斐波那契数列的特征方程就可以求
(f_{n+2}=f_{n+1}+f_n)
例子：
已知数列a满足：
(a_1=-4,a_2=-7,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n)
求(a_n)的通项公式
实际上用刚才的特征方程就好了
又一个例子:
求(lfloor(dfrac {5+sqrt{21}} {2})^n rfloor)的个位数字
发现上面的其实是(x^2-5x+1=0)的两个解
然后(x^2=5x-1)
(a_{n+2}=5a_{n+1}-a_n)
(a_n=C_1(dfrac {5+sqrt{21}} {2})^n+C_2(dfrac {5-sqrt{21}} {2})^n)
(a_n=(dfrac {5+sqrt{21}} {2})^n+(dfrac {5-sqrt{21}} {2})^n)
所以(a_0=2,a_1=5)
然后用
(a_{n+2}=5a_{n+1}-a_n)，在加的时候不断模10算出来它的循环节就可以了
还有一个例子：
求所有的数对((p,n)),满足(p^n)=(n^p),(p)是质数，(n)是正整数
假设(n=p^x),所以(p^n=p^{xp}=np)
(p^n=p^{p^x})
(p^{xp}=p^{p^x})
所以(xp=p^x to x=p^{x-1})
但是我们观察到$n=p space or space n=2,p=4 $（或者相反）就可以了
更多的例子：
n是一个偶数，给定一个n*n的矩阵B，(B_{i,j}=(i+j) space mod space n)
选出尽量多个格子，使得其中任意两个格子不在同一行，不在同一列，格子中的元素不同
给出方案
还有：
(M(a))表示使((a+b)|ab)为的正整数的b的个数
求(M(a))
设(dfrac {ab} {a+b}=c)
然后(ab=ac+bc)
(ab-ac-bc=0)
(ab-ac-bc+a^2=a^2)
((a-c)(a+b)=a^2)
所以我们就结束了
(ans=dfrac {d_0(a^2)-1}2),(d_0(x))为x约数的个数
如何求(a^2)的约数个数
(d_0(12)=(2+1)*(1+1)=6)
然后(d_0(12^2)=(4+1)*(2+1)=15)
然而还有：
一次考试有m道题目，有n个同学参加
如果某道题目正好有x个同学没有答对，那么答对的所有同学得x分
求第一名的分数和最后一名分数之和的最大值
可以很容易看出最大值为m*(n-1)
平面上有2n个点，没有三点共线，任意两点之间连线段
将其中(n^2+1)条边染成红色，剩下的边染成蓝色
求同色的三角形最多有多少个？
若矩阵A，向量x，数(lambda)满足：
(Ax=lambda x)则称$lambda (为)A(的特征值，)x(为)lambda(相对应的)A$的特征向量
求解方法：
((A-lambda I)x=0)先求解(|A-lambda I|=0)再求解方程
如果(AB=I),则A,B互为对方的逆，记为(B^{-1},A^{-1})
求解方法：通过矩阵变换将([A|I])消成([I|B])，则(B=A^{-1})
矩阵的对角化：（三角矩阵(O(n^3))）的矩阵快速幂
(A=P^{-1}DP)，其中(D)为对角矩阵
(D中元素为A的特征值，P为相对应的特征的向量矩阵)
以上是脚本宝典为你收集整理的【全程NOIP计划】数学推导选讲全部内容，希望文章能够帮你解决【全程NOIP计划】数学推导选讲所遇到的问题。
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