脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了量子力学基础-2，脚本宝典觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。
(A(|arang+|brang) = A|arang+A|brang)
(A(z|arang = zA|arang)
恒等算符(I) (I|arang = |arang)
零算符0 (0|arang = 0)
(A|vrang = lambda|vrang) (|vrang 是 A 的本征矢量，lambda 是相应的本征值.)
如何求得本征值和本征矢量：
(1) (A|vrang =lambda|vrang = lambda I |vrang (I是等同算符))
(2) ((A-lambda I）|vrang = 0)
(3) (|A-lambda I| = 0)，解得 (lambda)， 带入((A-lambda I）|vrang = 0)，可求得 (|vrang).
([A, B] = AB-BA)， 若([A, B] = 0, 即 AB=BA，则称A与B是对易的.)
({A, B} = AB+BA)， 若({A, B} = 0, 即 AB=-BA，则称A与B是反对易的.)
(A = A^dagger)， 则(A) 是厄米算符. （类似对称矩阵，(A=A^T)）
((AB)^dagger = B^{dagger}A^dagger)
推导：((AB)^dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{dagger}A^dagger)
厄米算符的本征值是实数.
半正定算子(positive operator) 是厄米算子的一个极重要的子类.
(半正定算子A Longleftrightarrow (|vrang, A|vrang) = lang v| A |v rang geq 0)
(正定算子A Longleftrightarrow (|vrang, A|vrang) = lang v| A |v rang > 0)
正定的(positive definite). 任意半正定算子自动地是厄米的，于是由谱分解定理，它具有对角表示(sum_i lambda_i |irang lang i|)， (lambda_i) 是非负特征值.
(态矢 |urang自身的外积是 |urang lang u|).
(Big( |urang lang u| Big) |wrang = |urang Big(lang u|wrang Big) =lang u|wrang |urang), 得到的矢量与原来的态矢方向相同，但是系数是(|urang 与|wrang 的内积)， 所以算符(|urang lang u | 作用于态矢量|wrang 可以看作 |wrang 在 |urang 上的投影(分量).)
设空间 (V) 是(n)维， (|irang (i=1,2,cdots, n)) 是空间(V) 的一组正交规一基，定义投影算符 (P=sum_{1}^{m}|iranglang i|~~~~(i=1,2,cdots,m),~~mleq n) 各个 (|irang~(i=1,2,cdots,m)) 构成 (V) 的子空间 (M). 投影算符(P)作用于空间V中的任一态矢(|wrang)相当于求取(|wrang) 在子空间 (M) 中的分量. 显然， (1). 当 (m =n)时，子空间(M)亦即原来的空间 (V). (V) 中任何态矢 (|wrang) 在 (V)中的投影显然就是 (|wrang) 本身，故 (sum_1^n |iranglang i|wrang = |wrang) (sum_1^n |iranglang i | = I), (I) 是(n) 阶等同算符.
(2). 当 (m<n) 时，(|w rang) 是空间 (V) 中的任意态矢，(P|w rang = sum_1^m|irang lang i|wrang = |vrang) 是在 (M)中， (|vrang) 在(M) 中的投影是 (|vrang) 自身, 故 (left{begin{matrix} P(P|wrang)= P|wrang = |vrang \ P=P^2=P^3= cdots end{matrix}right.)
(A=sum lambda_i |irang lang i | (i = 1,2, cdots, n) = O = begin{bmatrix} lambda_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & lambda_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & lambda_n end{bmatrix})
其中，(lambda_i) 是本征值，(|irang) 是对应的本征向量.
算符 (A) 能够对角化的充要条件是 (A) 是一个正规算符(normal operator)， 即 (AA^dagger = A^{dagger}A). (A 能够对角化 Longleftrightarrow AA^dagger = A^{dagger}A)
幺正算符，也叫酉算符. (U^dagger = U^{-1})，即 (U^{dagger}U = I). (类似正交矩阵 (AA^T = I)，(A^T = A^{-1}))
幺正算符的性质：
(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.
推导如下：
变换前的两个矢量，(|srang) 和(|trang)，其内积为(lang s|t rang).
以幺正算符作用于(|srang) 和(|trang) 后，(U|srang) 和(U|trang)，其内积为 (Big(U|srang, U|trang Big) = lang s|U^{dagger} U|trang = lang s|I|trang = lang s|(I|trang) = lang s|trang).
(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.
设(|u_irang(i=1,2,cdots,n)) 是一组正交规一基，(U) 是幺正变换，(U|u_irang = |w_irang)， 可得
反之，若 (|u_irang) 和 (|w_irang) 是两组归一正交基，则它们之间的变换是幺正变换. 即，(A|u_irang = |w_irang), A是幺正变换.
推导如下：
假设 (A|u_irang = |w_i rang)， 证明 (A) 是幺正算符.
$A|u_irang = |w_i rang Longrightarrow A|u_irang lang u_i| = |w_i rang lang u_i| Longrightarrow sum_i A|u_irang lang u_i| = sum_i |w_i rang lang u_i| $
(Longrightarrow Asum_i |u_irang lang u_i| = sum_i |w_i rang lang u_i| Longrightarrow AI = sum_i |w_i rang lang u_i| Longrightarrow A = sum_i |w_i rang lang u_i|)
(A^dagger = sum_i |u_irang lang w_i|)
(A^{dagger}A = sum_i |u_irang lang w_i| sum_j |w_j rang lang u_j| = sum_i sum_j |u_irang lang w_i|w_j rang lang u_j| = sum_i |u_irang lang u_i| = I).
上式中 $I $ 是恒等算符，故 (A) 是幺正算符.
(3) 幺正算符的本征值都以1为模数，亦即可表示为(e^{itheta})， (theta) 是个实数.
(sigma_0 = I = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}) (sigma_ 1= sigma_x = X = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix})
(sigma_2= sigma_y = Y = begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 end{pmatrix}) (sigma_3= sigma_z = Z = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})
泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即(sigma = sigma^dagger = sigma^{-1}).
[1] 马瑞霖. 量子密码通信[M]. 北京：科学出版社，2006.
[2] [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.
[3] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科学出版社，2013.
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