脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了量子力学基础-2,脚本宝典觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。
(A(|arang+|brang) = A|arang+A|brang)
(A(z|arang = zA|arang)
恒等算符(I) (I|arang = |arang)
零算符0 (0|arang = 0)
(A|vrang = lambda|vrang) (|vrang 是 A 的本征矢量,lambda 是相应的本征值.)
如何求得本征值和本征矢量:
(1) (A|vrang =lambda|vrang = lambda I |vrang (I是等同算符))
(2) ((A-lambda I)|vrang = 0)
(3) (|A-lambda I| = 0),解得 (lambda), 带入((A-lambda I)|vrang = 0),可求得 (|vrang).
([A, B] = AB-BA), 若([A, B] = 0, 即 AB=BA,则称A与B是对易的.)
({A, B} = AB+BA), 若({A, B} = 0, 即 AB=-BA,则称A与B是反对易的.)
(A = A^dagger), 则(A) 是厄米算符. (类似对称矩阵,(A=A^T))
((AB)^{dagger} = B^{dagger} A^dagger)
推导:((AB)^dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{dagger}A^dagger)
厄米算符的本征值是实数.
(态矢 |urang自身的外积是 |urang lang u|).
(Big( |urang lang u| Big) |wrang = |urang Big(lang u|wrang Big) =lang u|wrang |urang), 得到的矢量与原来的态矢方向相同,但是系数是(|urang 与|wrang 的内积), 所以算符(|urang lang u | 作用于态矢量|wrang 可以看作 |wrang 在 |urang 上的投影(分量).)
设空间 (V) 是(n)维, (|irang (i=1,2,cdots, n)) 是空间(V) 的一组正交规一基,定义投影算符 (P=sum_{1}^{m}|iranglang i|~~~~(i=1,2,cdots,m),~~mleq n) 各个 (|irang~(i=1,2,cdots,m)) 构成 (V) 的子空间 (M). 投影算符(P)作用于空间V中的任一态矢(|wrang)相当于求取(|wrang) 在子空间 (M) 中的分量. 显然, (1). 当 (m =n)时,子空间(M)亦即原来的空间 (V). (V) 中任何态矢 (|wrang) 在 (V)中的投影显然就是 (|wrang) 本身,故 (sum_1^n |iranglang i|wrang = |wrang) (sum_1^n |iranglang i | = I), (I) 是(n) 阶等同算符.
(2). 当 (m<n) 时,(|w rang) 是空间 (V) 中的任意态矢,(P|w rang = sum_1^m|irang lang i|wrang = |vrang) 是在 (M)中, (|vrang) 在(M) 中的投影是 (|vrang) 自身, 故 (left{begin{matrix} P(P|wrang)= P|wrang = |vrang \ P=P^2=P^3= cdots end{matrix}right.)
(A=sum lambda_i |irang lang i | (i = 1,2, cdots, n) = O = begin{bmatrix} lambda_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & lambda_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & lambda_n end{bmatrix})
其中,(lambda_i) 是本征值,(|irang) 是对应的本征向量.
算符 (A) 能够对角化的充要条件是 (A) 是一个正规算符(normal operator), 即 (AA^dagger = A^{dagger}A). (A 能够对角化 Longleftrightarrow AA^dagger = A^{dagger}A)
幺正算符,也叫酉算符. (U^dagger = U^{-1}),即 (U^{dagger}U = I). (类似正交矩阵 (AA^T = I),(A^T = A^{-1}))
幺正算符的性质:
(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.
推导如下:
变换前的两个矢量,(|srang) 和(|trang),其内积为(lang s|t rang).
以幺正算符作用于(|srang) 和(|trang) 后,(U|srang) 和(U|trang),其内积为 (Big(U|srang, U|trang Big) = lang s|U^{dagger} U|trang = lang s|I|trang = lang s|(I|trang) = lang s|trang).
(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.
设(|u_irang(i=1,2,cdots,n)) 是一组正交规一基,(U) 是幺正变换,(U|u_irang = |w_irang), 可得 (lang w_i|w_j rang = lang u_i| U^dagger U | u_j rang = lang u_i | u_j rang = delta_{ij}) 反之,若 (|u_irang) 和 (|w_irang) 是两组归一正交基,则它们之间的变换是幺正变换. 即,(A|u_irang = |w_irang), A是幺正变换.
推导如下:
假设 (A|u_irang = |w_i rang), 证明 (A) 是幺正算符.
$A|u_irang = |w_i rang Longrightarrow A|u_irang lang u_i| = |w_i rang lang u_i| Longrightarrow sum_i A|u_irang lang u_i| = sum_i |w_i rang lang u_i| $
(Longrightarrow Asum_i |u_irang lang u_i| = sum_i |w_i rang lang u_i| Longrightarrow AI = sum_i |w_i rang lang u_i| Longrightarrow A = sum_i |w_i rang lang u_i|)
(A^dagger = sum_i |u_irang lang w_i|)
(A^{dagger}A = sum_i |u_irang lang w_i| sum_j |w_j rang lang u_j| = sum_i sum_j |u_irang lang w_i|w_j rang lang u_j| = sum_i |u_irang lang u_i| = I).
上式中 $I $ 是恒等算符,故 (A) 是幺正算符.
(3) 幺正算符的本征值都以1为模数,亦即可表示为(e^{itheta}), (theta) 是个实数.
(sigma_0 = I = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}) (sigma_ 1= sigma_x = X = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix})
(sigma_2= sigma_y = Y = begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 end{pmatrix}) (sigma_3= sigma_z = Z = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})
泡利算符既是厄米算符,又是幺正算符,即(sigma = sigma^dagger = sigma^{-1}).
以上是脚本宝典为你收集整理的量子力学基础-2全部内容,希望文章能够帮你解决量子力学基础-2所遇到的问题。
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