脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了Logistic 回归,脚本宝典觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。
本菜鸡最近想学学 机器学习,这不,刚开始。 如果觉得我这篇文章写的好的话,能不能给我 点个赞 ,评论 一波。如果要点个 关注 的话也不是不可以🤗
[0, 1]
),进而输出 判断的类别 。既然都是 预测,使用相同的 x
,只是输出从原来的 实数 变成了 类别,那我们就用一个函数将结果从 实数集 映射到 [0, 1]
中,然后再转成对应分类不就行了呗。
- 有两个类别的实例,
o
代表正例,x
代表负例- 可以找到一个超平面 w T x + b = 0 {w}^{T}x+b=0 wTx+b=0 将两类实例分隔开,即
正确分类
- 其中, w ∈ R n w in {mathbb{R}}^{n} w∈Rn 为超平面的
法向量
, b ∈ R b in mathbb{R} b∈R 为偏置
- 超平面上方的点都满足 w T x + b > 0 {w}^{T}x+b>0 wTx+b>0
- 超平面下方的点都满足 w T x + b < 0 {w}^{T}x+b<0 wTx+b<0
- 可以根据以下
x
的线性函数值(与 0 的比较结果)判断实例类别: z = g ( x ) = w T x + b z=g(x)={w}^{T}x+b z=g(x)=wTx+b- 分类函数以
z
为输入,输出预测的类别: c = H ( z ) = H ( g ( x ) ) c=H(z)=H(g(x)) c=H(z)=H(g(x))
有个方法可以实现 线性分类器 ,那就是 Logistic
回归。
Logistic
回归是一种 广义线性 模型,使用 线性判别式函数 对实例进行分类。而一般实现这种分类方法的函数是 sigmoid
函数。(因为其中最为出名的是 logistic
函数,所以也被称为 logistic
函数)。
先看一下 饱和函数,至于为什么要看这个函数,因为 Sigmoid
函数都需要满足这个函数,具体见下述 sigmoid
(也即 logistic
) 函数。
x < 0
时,导数值 ↑
,x ≥ 0
时,导数值 ↓
,即,将导函数为 正态分布 的分布函数称为 饱和函数 。一些饱和函数
δ
图像如下
它们的导函数是服从 正态分布 的,图像如下 所以,最理想的分类函数为单位阶跃函数
,直上直下的,是 饱和函数 的一种。如下图
也就是 H ( z ) = { 0 , x < 0 0.5 , x = 0 1 , x > 0 H(z)= begin{cases} 0, x<0 \ 0.5, x=0 \ 1, x>0 end{cases} H(z)=⎩⎪⎨⎪⎧0,x<00.5,x=01,x>0
sigmoid
函数是一种常用替代函数。sigmoid
函数是一类函数,满足以下函数特征即可:
函数定义 σ ( x ) = 1 1 + e − z sigma(x)=frac{1}{1+{e}^{-z}} σ(x)=1+e−z1
logistic
函数logistic
函数的值域在 (0,1)
之间连续,函数的输出可视为 x 条件下实例为正例的条件概率 ,即
P
(
y
=
1
∣
x
)
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
P(y=1|x)=sigma (g(x))=frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
P(y=1∣x)=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1 x 条件下实例为负例的条件概率为
P
(
y
=
0
∣
x
)
=
1
−
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
(
w
T
x
+
b
)
P(y=0|x)=1-sigma (g(x))=frac{1}{1+{e}^{({w}^{T}x+b)}}
P(y=0∣x)=1−σ(g(x))=1+e(wTx+b)1
logistic
函数是 对数概率函数 的 反函数,一个事件的概率指该事件发生的概率 p
与该事件不发生的概率 1-p
的比值。
Logistic
回归模型假设一个实例为正例的对数概率是输入 x 的 线性函数,即:
log
p
1
−
p
=
w
T
x
+
b
log {frac{p}{1-p}}={w}^{T}x+b
log1−pp=wTx+b 反求 p
,即:
p
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
p = sigma(g(x))=frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
p=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1 logistic
函数有个很好的数学特性,
σ
(
z
)
sigma(z)
σ(z) 一阶导数形式简单,并且关于其本身的函数:
d
σ
(
z
)
d
z
=
σ
(
z
)
(
1
−
σ
(
z
)
)
frac{d sigma(z)}{dz} = sigma(z) (1-sigma(z))
dzdσ(z)=σ(z)(1−σ(z)) Logistic
回归模型假设函数为
h
w
,
b
(
x
)
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
{h}_{w,b}(x) = sigma (g(x)) = frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
hw,b(x)=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1 将 b
纳入权向量 w
,假设函数更改为
h
w
(
x
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
)
{h}_{w}(x) = frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x)}}
hw(x)=1+e−(wTx)1
P ( y = 1 ∣ x ) = h w ( x ) P ( y = 0 ∣ x ) = 1 − h w ( x ) P(y=1|x)={h}_{w}(x) \ P(y=0|x)=1-{h}_{w}(x) P(y=1∣x)=hw(x)P(y=0∣x)=1−hw(x)
D
中的某样本
(
x
i
,
y
i
)
({x}_{i}, {y}_{i})
(xi,yi) ,模型将输入实例
x
i
{x}_{i}
xi 预测为类别
y
i
{y}_{i}
yi 的概率为P ( y = y i ∣ x i ; w ) = h w ( x i ) y i ( 1 − h w ( x i ) ) 1 − y i P(y={y}_{i}|{x}_{i};w)={h}_{w}({x}_{i})^{{y}_{i}}(1-{h}_{w}({x}_{i}))^{1-{y}_{i}} P(y=yi∣xi;w)=hw(xi)yi(1−hw(xi))1−yi
D
各样本独立同分布,定义似然函数 L(w)
描述训练集中 m
个样本同时出现的概率,公式如下:L ( w ) = Π i = 1 m P ( y = y i ∣ x i ; w ) = ∏ i = 1 m h w ( x i ) y i ( 1 − h w ( x i ) ) 1 − y i L(w)=Pi^{m}_{i=1}{P(y={y}_{i}|{x}_{i};w)} \ =prod limits_{i=1}^{m}{h}_{w}({x}_{i})^{{y}_{i}}(1-{h}_{w}({x}_{i}))^{1-{y}_{i}} L(w)=Πi=1mP(y=yi∣xi;w)=i=1∏mhw(xi)yi(1−hw(xi))1−yi
用 极大似然法 估计参数 w
的核心思想是
w
,使得当前已经观测到的数据(训练集中的 m
个样本)最有可能出现(概率最大),即:w ^ = a r g w m a x L ( w ) hat{w}={arg}_{w}max , L(w) w^=argwmaxL(w)
L(w)
的极值点转化为找其对数似然函数 ln(L(w))
的最大值点,即:w ^ = a r g w m a x l n ( L ( w ) ) hat{w} = {arg}_{w}max , ln(L(w)) w^=argwmaxln(L(w))
l ( w ) = l n ( L ( w ) ) = ∑ i = 1 m y i l n ( h w ( x i ) ) + ( 1 − y i ) l n ( 1 − h w ( x i ) ) l(w)=ln(L(w))=displaystyle sum ^{m}_{i=1}{{y}_{i}ln({h}_{w}({x}_{i}))}+(1-{y}_{i})ln(1-{h}_{w}({x}_{i})) l(w)=ln(L(w))=i=1∑myiln(hw(xi))+(1−yi)ln(1−hw(xi))
对于 Logistic
回归模型,可以定义其损失为:
J ( w ) = − 1 m l ( w ) = − 1 m ∑ i = 1 m y i l n ( h w ( x i ) ) + ( 1 − y i ) l n ( 1 − h w ( x i ) ) J(w)=-frac{1}{m} l(w)=-frac{1}{m} displaystyle sum ^{m}_{i=1}{{y}_{i} ln({h}_{w}({x}_{i}))+(1-{y}_{i}) ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))} J(w)=−m1 l(w)=−m1i=1∑myi ln(hw(xi))+(1−yi) ln(1−hw(xi))
等价
,求损失函数最小值依然可以使用 梯度下降算法 ,最终估计出模型参数
w
^
hat{w}
w^计算 J(w)
对分量
w
j
{w}_{j}
wj 的偏导数(就对上边的公式 求导)
∂ ∂ w j J ( w ) = − 1 m ∑ i = 1 m y i l n h w ( x i ) + ( 1 − y i ) l n ( 1 − h w ( x i ) ) frac{partial}{partial {w}_{j}}J(w)=-frac{1}{m}displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i}ln{h}_{w}({x}_{i})+(1-{y}_{i})ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))} ∂wj∂J(w)=−m1i=1∑myilnhw(xi)+(1−yi)ln(1−hw(xi)) = − 1 m ∑ i = 1 m y i ∂ ∂ w j l n h w ( x i ) + ( 1 − y i ) ∂ ∂ w j l n ( 1 − h w ( x i ) ) =-frac{1}{m}displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i}frac{partial }{partial {w}_{j}}ln{h}_{w}({x}_{i})+(1-{y}_{i})frac{partial}{partial {w}_{j}}ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))} =−m1i=1∑myi∂wj∂lnhw(xi)+(1−yi)∂wj∂ln(1−hw(xi)) = − 1 m ∑ i = 1 m y i 1 h w ( x i ) ∂ h w ( x i ) ∂ z i ∂ z i w j + ( 1 − y i ) 1 1 − h w ( x i ) ( − ∂ h w ( x i ) ∂ z i ) ∂ z i w j =- frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i} frac{1}{{h}_{w}({x}_{i})} frac{partial {h}_{w}({x}_{i})}{partial {z}_{i}} frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}} + (1-{y}_{i}) frac{1}{1-{h}_{w}({x}_{i})} (-frac{partial {h}_{w}({x}_{i})}{partial {z}_{i}}) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}}} =−m1i=1∑myi hw(xi)1∂zi∂hw(xi)wj∂zi+(1−yi)1−hw(xi)1(−∂zi∂hw(xi))wj∂zi = − 1 m ∑ i = 1 m ( y i h w ( x i ) ⋅ ( 1 − h w ( x i ) h w ( x i ) − ( 1 − y i ) h w ( x i ) ⋅ ( 1 − h w ( x i ) ) ( 1 − h w ( x i ) ) ) ∂ z i w j =-frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({y}_{i} frac{{h}_{w}({x}_{i}) cdot (1-{h}_{w}({x}_{i})}{{h}_{w}({x}_{i})} -(1-{y}_{i}) frac{{h}_{w}({x}_{i}) cdot (1-{h}_{w}({x}_{i}))}{(1-{h}_{w}({x}_{i}))}) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}} =−m1i=1∑m(yihw(xi)hw(xi)⋅(1−hw(xi)−(1−yi)(1−hw(xi))hw(xi)⋅(1−hw(xi)))wj∂zi = − 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h w ( x i ) ) ∂ z i w j =- frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({y}_{i}-{h}_{w}({x}_{i})) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}} =−m1i=1∑m(yi−hw(xi))wj∂zi = 1 m ∑ i = 1 m ( h w ( x i ) − y i ) x i j =frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{ij} =m1i=1∑m(hw(xi)−yi)xij
由此可推出梯度 ∇ J ( w ) nabla J(w) ∇J(w) 计算公式为 ∇ J ( w ) = 1 m ∑ i = 1 m ( h w ( x i ) − y i ) x i nabla J(w)=frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{i} ∇J(w)=m1i=1∑m(hw(xi)−yi)xi
对于随机梯度下降,即 m = 1
时,相应梯度计算公式为
∇
J
(
w
)
=
(
h
w
(
x
i
)
−
y
i
)
x
i
nabla J(w)=({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{i}
∇J(w)=(hw(xi)−yi)xi 设学习率为
η
eta
η ,模型参数 w
的更新公式为
w
=
w
−
η
∇
J
(
w
)
w = w - eta nabla J(w)
w=w−η ∇J(w)
既然我们已经了解了 Logistic
模型的数学原理,那现在我们就使用 Python
实现吧!
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
class LogisticRegression:
def __init__(self, w_init=0.0, steps=10000, eta=0.01):
# 训练迭代次数
self.steps = steps
# 学习率
self.eta = eta
# 初始化模型参数
self.w_init = w_init
self.w = None
def __z(self, X):
'''
计算 x 与 w 的内积
'''
# 矩阵点积:[1*n] ⋅ [n*m] = [1*m]
return np.dot(self.w, X.T)
def __sigmoid(self, z):
'''
Sigmoid 函数
'''
return 1. / (1. + np.exp(-z))
def __predict_proba(self, X):
'''
预测为正例的概率
'''
# 求 z
z = self.__z(X)
# 利用 Sigmoid 函数求预测为 '分类1' 的概率,>=0.5 的为 '分类1' ,否则为 '分类0'
return self.__sigmoid(z)
def __loss(self, y, y_pred):
'''
求损失
'''
# 数学公式见上述
return -np.sum(y * np.log(y_pred) + (1-y)* np.log(1-y_pred)) / y.size
def __preprocess(self, X):
'''
预处理 x,x0 = 1
'''
m, n = X.shape
# 初始化新矩阵
X_ = np.zeros((m, n+1))
# x0 = 1
X_[:, 0] = 1
X_[:, 1:] = X
return X_
def __gradient(self, X, y, y_pred):
'''
求梯度
'''
# 矩阵乘法:[1*m] * [m*n] = [1*n]
return np.matmul(y_pred-y, X) / y.size
def train(self, X, y):
# 预处理 X
X = self.__preprocess(X)
# 生成 w 矩阵
m, n = X.shape
self.w = np.full((1, n), self.w_init)
# 创建 step-loss DataFrame,用于绘图
plot_loss = pd.DataFrame(columns=['step', 'loss'])
for step in range(1, self.steps+1):
# 求 y_hat
y_pred = self.__predict_proba(X)
# 求损失,存入 DataFrame 中,并输出
loss = self.__loss(y, y_pred)
plot_loss.loc[plot_loss.shape[0]+1] = [step, loss]
print('rEpoch: {} {:>.2f}%: [{}{}] loss={:>.2f}'.format(
step, step / self.steps * 100,
'■' * int(step / self.steps * 20),
'□' * (20 - int(step/self.steps*20)),
loss
), end='')
# 求梯度
grad = self.__gradient(X, y, y_pred)
# 更新权重 w
self.w -= self.eta * grad
# 绘制 step-loss 折线图
plt.plot(plot_loss['step'], plot_loss['loss'])
plt.xlabel('step')
plt.ylabel('loss')
plt.show()
def predict(self, X):
# 预处理 X
X = self.__preprocess(X)
# 求 y_hat
y_pred = self.__predict_proba(X)
# 转标签
return np.where(y_pred >= 0.5, 1, 0)
测试一下,训练集就取
x
∈
[
0
,
10
]
x in [0, 10]
x∈[0,10],0.1
为步长的 等差数列,
y
∈
0
,
1
y in {0, 1}
y∈0,1 的二分类数组,将
x
≥
5
x geq 5
x≥5 的数据对应的标签设置为 1
,其余为 0
,弄好以后画个图瞅瞅。代码如下:
train_x = np.arange(0, 11, 0.1).reshape(-1, 1)
train_y = np.where(train_x > 5, 1, 0).reshape(1, -1)
# x = [m*n] = [110*1],即有 110 个 x,每个 x 的维度为 1
# y = [1*m] = [1*110],即有 110 个 y
# 显示网格线
plt.grid()
plt.plot(train_x, train_y[0])
plt.show()
折线图如下
下边就用我们的模型试一试效果model = LogisticRegression()
model.train(train_x, train_y)
可以看到,损失是逐渐 下降 的。
让我们来预测一波试试。
In[]: model.predict(np.array([[2], [3], [4], [5], [6]]))
-------------------------------------------------------------
Out[]: array([[0, 0, 0, 1, 1]])
看起来结果还是不错的。
不得不佩服强大的 Python
生态,有好多大佬们写好的库,我们直接调用其中的 API
即可,sklearn
就是 Python
机器学习 一个常用的库,用它实现 Logistic
回归,代码如下(数据还是上边的数据):
In[]: from sklearn.linear_model import LogisticRegression
lr = LogisticRegression()
lr.fit(train_x, train_y.reshape(-1, 1))
lr.predict(np.array([[2], [3], [4], [5], [6]]))
---------------------------------------------------------------
Out[]: array([0, 0, 0, 1, 1])
成功咯!!!
这可不能忘
[1]刘硕.Python机器学习算法原理、实现与案例[M].北京:清华大学出版社,2019
有想要一起学习 python
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以上是脚本宝典为你收集整理的Logistic 回归全部内容,希望文章能够帮你解决Logistic 回归所遇到的问题。
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